analyticAt_cgf — Mathlib

English

The analytic properties of the cumulant generating function hold on any interior point of the domain of finite exponential moments.

Русский

Свойства аналитичности кgf сохраняются в любой interior точки области конечных экспоненциальных моментов.

LaTeX

$$$\text{AnalyticAt}(\mathbb{R}, \mathrm{cgf}(X, \mu), v) \text{ for } v \in \operatorname{int}(\mathrm{integrableExpSet}(X, \mu)).$$$

Lean4

theorem analyticAt_cgf (h : v ∈ interior (integrableExpSet X μ)) : AnalyticAt ℝ (cgf X μ) v :=
  by
  by_cases hμ : μ = 0
  · simp only [hμ, cgf_zero_measure]
    exact analyticAt_const
  · exact (analyticAt_mgf h).log <| mgf_pos' hμ (interior_subset (s := integrableExpSet X μ) h)

Похожие утверждения