ad_ker_eq_self_module_ker — Mathlib

English

Let R be a ring, L a Lie algebra over R, and ad: L → End_R(L) the adjoint representation. Then the kernel of ad consists exactly of those elements that act trivially by bracket on all of L; equivalently, ker(ad) = LieModule.ker R L L.

Русский

Пусть R — кольцо, L — Ли-алгебра над R, и ад: L → End_R(L) — приставочно-подобное отображение. Ядро ад относится к тем элементам, которые действуют тривиально по скобке на всем L; то есть ker(ad) = LieModule.ker R L L.

LaTeX

$$$\ker\big(\operatorname{ad}_{R,L}\big) = \mathrm{Z}(L) = \{ z \in L : [z, x] = 0 \text{ for all } x \in L\}. $$$

Lean4

@[simp]
theorem ad_ker_eq_self_module_ker : (ad R L).ker = LieModule.ker R L L :=
  rfl

Похожие утверждения