English
Let S be a finite-index subgroup of G. For A ∈ Rep(k,S) and B ∈ Rep(k,G) and a morphism f: (Action.res k S.subtype).obj B ⟶ A, the natural homomorphism given by the resIndAdjunction is exactly the composite of the coinduced morphism with the inverse of the ind–coind isomorphism, i.e. the hom-equivalence is the composition of the two canonical transformations.
Русский
Пусть S ≤ G имеет конечный индекс. Для A ∈ Rep(k,S) и B ∈ Rep(k,G) и морфизма f: (Action.res k S.subtype).obj B ⟶ A, естественная гомоморфная соответствие, задаваемое resIndAdjunction, равно композиции коиндuced-морфизма с обратной к индукционному-коиндум изоморфности, то есть гом-эквиваленция является композицией двух канонических преобразований.
LaTeX
$$$ (\mathrm{resIndAdjunction}_{k,S}).\mathrm{homEquiv}\ B A\; f = (\mathrm{resCoindHomEquiv}_{S,\subtype})\; B A\; f \; \circ\; (\mathrm{indCoindIso}_{A})^{-1} $$$
Lean4
theorem resIndAdjunction_homEquiv_apply {B : Rep k G} (f : (Action.res _ S.subtype).obj B ⟶ A) :
(resIndAdjunction k S).homEquiv _ _ f = resCoindHomEquiv S.subtype B A f ≫ (indCoindIso A).inv :=
by
simp only [resIndAdjunction, Adjunction.ofNatIsoRight, resCoindAdjunction, Adjunction.mkOfHomEquiv_homEquiv]
rfl
