English
Let A be a representation of G over k. Then the natural morphisms coming from the 0-th cocycles and the first cocycles commute with the first cocycles isomorphism and the left homology data of the short complex H1. In particular, the composition toCocycles A 0 1 with the homomorphism part of isoCocycles₁ A equals the composition of cochainsIso₀ A with the left-hand side of the short complex H1.
Русский
Пусть A — представление группы G над полем k. Тогда компоновки, связанные с нулевыми кокозиалами и с первыми кокозиалами, совместимы через изоморфизм кокозиал₁ и данные левого гомологии короткого комплекса H1. В частности, композиция toCocycles A 0 1 с гомоморфизмом isoCocycles₁ A равна композиции cochainsIso₀ A с f’ из модуля слева для shortComplexH1.
LaTeX
$$$toCocycles(A,0,1) \circ (isoCocycles_{1}(A))^{\mathrm{hom}} = (cochainsIso_{0}(A))^{\mathrm{hom}} \circ (shortComplexH1(A)).moduleCatLeftHomologyData.f' \,,$$$
Lean4
@[reassoc (attr := simp), elementwise (attr := simp)]
theorem toCocycles_comp_isoCocycles₁_hom :
toCocycles A 0 1 ≫ (isoCocycles₁ A).hom = (cochainsIso₀ A).hom ≫ (shortComplexH1 A).moduleCatLeftHomologyData.f' :=
by simp [← cancel_mono (shortComplexH1 A).moduleCatLeftHomologyData.i, comp_d₀₁_eq, shortComplexH1_f]
