English
For a k-linear G-representation A, the complex of inhomogeneous chains is canonically isomorphic to the G-coinvariants of A tensored with the bar resolution; i.e. the inhomogeneous chain complex is naturally isomorphic to the coinvariants tensor barComplex(k,G) with A.
Русский
Для k-штучного представления G над A надобно, чтобы комплекс инхомогенных цепей канонически был изоморфен к G-кунифакторам A тензора бар-разрешения; т.е. последовательности инхомогенных цепей естественным образом изоморфны объекту коинвариантов тензора barComplex(k,G) с A.
LaTeX
$$$\operatorname{inhomogeneousChains}(A) \cong (\operatorname{barComplex}(k,G)).\operatorname{coinvariantsTensorObj}(A)$$$
Lean4
/-- Given a `k`-linear `G`-representation `A`, the complex of inhomogeneous chains is isomorphic
to `(A ⊗[k] P)_G`, where `P` is the bar resolution of `k` as a trivial `G`-representation. -/
def inhomogeneousChainsIso [DecidableEq G] : inhomogeneousChains A ≅ (barComplex k G).coinvariantsTensorObj A :=
by
refine HomologicalComplex.Hom.isoOfComponents ?_ ?_
· intro i
apply (coinvariantsTensorFreeLEquiv A (Fin i → G)).toModuleIso.symm
rintro i j rfl
simp [d_eq, -LinearEquiv.toModuleIso_hom, -LinearEquiv.toModuleIso_inv]
