English
A linear map f: X.V → Y.V commutes with the G-action if and only if it respects the G-representation structure, and this compatibility is captured by commutation with the action morphisms.
Русский
Линейный отображение f: X.V → Y.V нормируется так, что оно commuting c действием G эквивалентно сохранению структуры представления G, что выражается через коммутирование с морфизмами действия.
LaTeX
$$$$ (X.ρ \text{ linHom } Y.ρ)\, g\, f = f \quad\Leftrightarrow\quad f \circ X.ρ(g) = Y.ρ(g) \circ f. $$$$
Lean4
/-- `average k G` is invariant under left multiplication by elements of `G`.
-/
@[simp]
theorem mul_average_left (g : G) : ↑(Finsupp.single g 1) * average k G = average k G :=
by
simp only [mul_one, Finset.mul_sum, Algebra.mul_smul_comm, average, MonoidAlgebra.of_apply,
MonoidAlgebra.single_mul_single]
set f : G → MonoidAlgebra k G := fun x => Finsupp.single x 1
change ⅟(Fintype.card G : k) • ∑ x : G, f (g * x) = ⅟(Fintype.card G : k) • ∑ x : G, f x
rw [Function.Bijective.sum_comp (Group.mulLeft_bijective g) _]
