English
Let η be an automorphism of the forgetful functor for a finite group G over a commutative ring k. The induced k-linear endomorphism α of the function algebra k^G given by α(f) = (η.hom.hom.app rightFDRep).hom f preserves pointwise multiplication: α(f · g) = α(f) · α(g) for all f, g: G → k.
Русский
Пусть η — аутоморфforgetful-п functor для конечной группы G над кольцом k. Вызванный этим α: (G → k) →_k (G → k) сохраняет поквартирное умножение: α(покрещенная_множность) = α(покрещенная_множность).
LaTeX
$$$\alpha : (G \to k) \to_k (G \to k)$; \\text{defined by } \alpha(f) = (\eta.hom.hom.app \mathrm{rightFDRep}).hom (f). \\text{Then for all } f,g: G \to k, \\alpha(f \cdot g) = \alpha(f) \cdot \alpha(g).$$
Lean4
/-- The `rightFDRep` component of `η : Aut (forget k G)` preserves multiplication -/
theorem map_mul_toRightFDRepComp (η : Aut (forget k G)) (f g : G → k) :
let α : (G → k) →ₗ[k] (G → k) := (η.hom.hom.app rightFDRep).hom
α (f * g) = (α f) * (α g) :=
by
have nat := η.hom.hom.naturality mulRepHom
have tensor (X Y) : η.hom.hom.app (X ⊗ Y) = (η.hom.hom.app X ⊗ₘ η.hom.hom.app Y) := η.hom.isMonoidal.tensor X Y
rw [tensor] at nat
apply_fun (Hom.hom · (f ⊗ₜ[k] g)) at nat
exact nat
