iff_span_pair_isPrincipal — Mathlib

English

If f: R → S is a surjective ring hom and R is Bezout, then S is Bezout.

Русский

Если f: R → S — сюръективное кольцо-пранирование и R — Bezout, то S — Bezout.

LaTeX

$$$\forall f:\, R \to S\ (Surjective\ f)\ [IsBezout\ R] \Rightarrow IsBezout\ S$$$

Lean4

theorem iff_span_pair_isPrincipal : IsBezout R ↔ ∀ x y : R, (Ideal.span { x, y } : Ideal R).IsPrincipal := by
  classical
  constructor
  · intro H x y; infer_instance
  · intro H
    constructor
    apply Submodule.fg_induction
    · exact fun _ => ⟨⟨_, rfl⟩⟩
    · rintro _ _ ⟨⟨x, rfl⟩⟩ ⟨⟨y, rfl⟩⟩; rw [← Submodule.span_insert]; exact H _ _

Похожие утверждения