English
There exists a natural Bialgebra structure on the tensor product A ⊗[R] B over S, given the hypotheses that A is a Bialgebra over S and B is a Bialgebra over R, together with the required algebra structures and scalar-tower conditions. The comultiplication and counit are induced from the respective comultiplications and counits of A and B via the standard tensor-product construction.
Русский
Существуют естественные структуры билиграблогии на тензорном произведении A ⊗[R] B над S, если A является билиграблогией над S, B — билиграблогией над R, существует требуемая структура алгебры и тензорной башни. Коумулум и counit задаются как для каждого из факторов через соответствующие коумул и counit на A и B в стандартной конструции тензорного произведения.
LaTeX
$$$\text{TensorProduct.instBialgebra: } A \otimes_R B \;\text{ имеет } Bialgebra_S\text{-структуру, скоординированную через } comul\text{ и } counit\text{, указанными выше}$$$
Lean4
noncomputable instance _root_.TensorProduct.instBialgebra : Bialgebra S (A ⊗[R] B) :=
by
have hcounit := congr(DFunLike.coe $(counit_eq_algHom_toLinearMap R S A B))
have hcomul := congr(DFunLike.coe $(comul_eq_algHom_toLinearMap R S A B))
refine Bialgebra.mk' S (A ⊗[R] B) ?_ (fun {x y} => ?_) ?_ (fun {x y} => ?_) <;>
simp_all only [AlgHom.toLinearMap_apply] <;>
simp only [map_one, map_mul]
