English
Let R be a commutative semiring and let N, P, M be coalgebras/modules with appropriate structures over R. If f is a coalgebra homomorphism N → P, then there is a natural coalgebra homomorphism rTensor f: N ⊗_R M →_c P ⊗_R M obtained by acting with f on the N-component and leaving M unchanged.
Русский
Пусть R — коммутативное полугодо... Пусть N, P, M образуют коалгебры/модули над R, и пусть f: N → P — коалгоморфизм. Существуют естественный коалгебра-одноморфизм rTensor f: N ⊗_R M →_c P ⊗_R M, который задаётся на элементе n ⊗ m как f(n) ⊗ m.
LaTeX
$$$\\text{Let } R \\text{ be a commutative semiring and } N, P, M \\text{ coalgebras over } R.\\quad f: N \\to_c[R] P \\\\n\\\\, rTensor(f) : N \\otimes_R M \\to_c[R] P \\otimes_R M \\\\text{ satisfies } rTensor(f)(n \\otimes m) = f(n) \\otimes m.$$$
Lean4
/-- `rTensor M f : N ⊗ M →ₗc P ⊗ M` is the natural coalgebra morphism induced by `f : N →ₗc P`. -/
noncomputable abbrev rTensor (f : N →ₗc[R] P) : N ⊗[R] M →ₗc[R] P ⊗[R] M :=
Coalgebra.TensorProduct.map f (CoalgHom.id R M)
