English
Let R be a Dedekind domain with field of fractions K, and v a height-one prime of R. For fractional ideals I ⊆ J with I ≠ 0, the corresponding multiplicity counts satisfy count(K, v, J) ≤ count(K, v, I).
Русский
Пусть R — неприводимый домен Дедекина с полем доли K, и пусть v является вершиной спектра высоты единицы. Для дробных идеалов I ⊆ J с I ≠ 0 соответствующие кратности удовлетворяют count(K, v, J) ≤ count(K, v, I).
LaTeX
$$$\forall I,J$ дробных идеалов над $R$, $I\neq 0$ и $I\le J$ ⇒ ${\rm count}_K(v,J) \le {\rm count}_K(v,I)$ для всех $v\in\mathrm{HeightOneSpectrum}(R)$.$$
Lean4
theorem count_mono {I J} (hI : I ≠ 0) (h : I ≤ J) : count K v J ≤ count K v I :=
by
by_cases hJ : J = 0
· exact (hI (FractionalIdeal.le_zero_iff.mp (h.trans hJ.le))).elim
have := mul_le_mul_left' h J⁻¹
rw [inv_mul_cancel₀ hJ, FractionalIdeal.le_one_iff_exists_coeIdeal] at this
obtain ⟨J', hJ'⟩ := this
rw [← mul_inv_cancel_left₀ hJ I, ← hJ', count_mul K v hJ, le_add_iff_nonneg_right]
· exact count_coe_nonneg K v J'
· exact hJ' ▸ mul_ne_zero (inv_ne_zero hJ) hI
