instSemilatticeSupSubtypeFG — Mathlib

English

The collection of finitely generated submodules forms a semilattice under supremum, with sup defined componentwise.

Русский

Набор конечножгенных подпмодулей образует полупространство (полубедь) по операции верхнего объединения, порождаемая верхняя граница определяется покомпонентно.

LaTeX

$$∀ P Q, P.FG ∧ Q.FG ⇒ (P ⊔ Q).FG$$

Lean4

instance : SemilatticeSup { P : Submodule R M // P.FG }
    where
  sup := fun P Q ↦ ⟨P.val ⊔ Q.val, Submodule.FG.sup P.property Q.property⟩
  le_sup_left := fun P Q ↦ by rw [← Subtype.coe_le_coe]; exact le_sup_left
  le_sup_right := fun P Q ↦ by rw [← Subtype.coe_le_coe]; exact le_sup_right
  sup_le := fun P Q R hPR hQR ↦ by
    rw [← Subtype.coe_le_coe] at hPR hQR ⊢
    exact sup_le hPR hQR

Похожие утверждения