iff_flat_and_proper_ideal — Mathlib

English

Faithfully flatness of an A-module M is equivalent to flatness plus a tensor-fidelity condition: tensoring with any nontrivial N preserves nontriviality.

Русский

Плоскость над A-модуля M эквивалентна плоскости плюс тензорная достоверность: тензорирование с любым не тривиальным N сохраняет не тривиальность.

LaTeX

$$FaithfullyFlat R M ↔ (Flat R M ∧ ∀ N [Nontrivial N], Nontrivial (N ⊗_R M))$$

Lean4

theorem iff_flat_and_proper_ideal :
    FaithfullyFlat R M ↔ (Flat R M ∧ ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → I • (⊤ : Submodule R M) ≠ ⊤) :=
  by
  rw [faithfullyFlat_iff]
  refine ⟨fun ⟨flat, h⟩ => ⟨flat, fun I hI r => ?_⟩, fun h => ⟨h.1, fun m hm => h.2 _ hm.ne_top⟩⟩
  obtain ⟨m, hm, le⟩ := I.exists_le_maximal hI
  exact h hm <| eq_top_iff.2 <| show ⊤ ≤ m • ⊤ from r ▸ Submodule.smul_mono le (by simp [r])

Похожие утверждения