English
For a homogeneous ideal I, the radical I.radical equals the infimum of all homogeneous prime ideals J that contain I.
Русский
Для гомогенного идеала I радикал I.radical равен наименьшему объединению всех гомогенных простых идеалов J, содержащих I.
LaTeX
$$$$ I \text{ IsHomogeneous } 𝒜 \; \Rightarrow \ I_{radical} = \InfSet.sInf\{J \mid I \text{ и } J \text{ гомогенный 𝒜 } I \le J, \ J \text{ prime} \}. $$$$
Lean4
theorem homogeneousCore {I : Ideal A} (h : I.IsPrime) : (I.homogeneousCore 𝒜).toIdeal.IsPrime :=
by
apply (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).isHomogeneous.isPrime_of_homogeneous_mem_or_mem
· exact ne_top_of_le_ne_top h.ne_top (Ideal.toIdeal_homogeneousCore_le 𝒜 I)
rintro x y hx hy hxy
have H := h.mem_or_mem (Ideal.toIdeal_homogeneousCore_le 𝒜 I hxy)
refine H.imp ?_ ?_
· exact Ideal.mem_homogeneousCore_of_homogeneous_of_mem hx
· exact Ideal.mem_homogeneousCore_of_homogeneous_of_mem hy
