isNoetherian_iff_isArtinian — Mathlib

English

For a module M over a semiprimary ring R, the module is Noetherian if and only if it is Artinian: IsNoetherian(R,M) ⇔ IsArtinian(R,M).

Русский

Для модуля M над полуприводным кольцом R: модуль является Даферн Noetherian тогда и только тогда, когда он Artinian: IsNoetherian(R,M) ⇔ IsArtinian(R,M).

LaTeX

$$$\\text{IsNoetherian}(R,M) \\iff \\text{IsArtinian}(R,M).$$$

Lean4

theorem isNoetherian_iff_isArtinian : IsNoetherian R M ↔ IsArtinian R M :=
  IsSemiprimaryRing.induction R R M (P := fun M ↦ IsNoetherian R M ↔ IsArtinian R M)
    (fun M _ _ _ _ _ _ ↦ IsSemisimpleModule.finite_tfae.out 1 2) fun M _ _ _ _ h h' ↦
    let N : Submodule R M := Ring.jacobson R • ⊤;
    by simp_rw [isNoetherian_iff_submodule_quotient N, isArtinian_iff_submodule_quotient N, N, h, h']

Похожие утверждения