exists_not_isUnit_of_not_isField — Mathlib

English

A commutative ring R (nontrivial) is a field if and only if there is no nontrivial proper ideal; equivalently, ¬IsField(R) ⇔ ∃ I, ⊥ < I ∧ I < ⊤.

Русский

Кольцо R неприводимо и не является полем тогда и только тогда, существует ненулевой ненулевой и ненулевой идеал; эквивалентно: ¬IsField(R) ⇔ ∃ I, ⊥ < I ∧ I < ⊤.

LaTeX

$$$\\neg\\mathrm{IsField}(R) \\iff \\exists I:\\mathrm{Ideal}(R),\\ \\bot < I \\land I < \\top$$$

Lean4

theorem exists_not_isUnit_of_not_isField [Nontrivial R] (hf : ¬IsField R) : ∃ (x : R) (_hx : x ≠ (0 : R)), ¬IsUnit x :=
  by
  have : ¬_ := fun h => hf ⟨exists_pair_ne R, mul_comm, h⟩
  simp_rw [isUnit_iff_exists_inv]
  push_neg at this ⊢
  obtain ⟨x, hx, not_unit⟩ := this
  exact ⟨x, hx, not_unit⟩

Похожие утверждения