comap_bot_le_of_injective — Mathlib

English

For a ring isomorphism f: R ≃+* S, comap f (comap f.symm I) = I for any ideal I of R.

Русский

Для кольцевого изоморфизма f: R ≃+* S, comap f (comap f.symm I) = I для любого идеала I в R.

LaTeX

$$$f : R \simeq+* S \Rightarrow I.comap f.symm \^\; I.comap f = I$$$

Lean4

theorem comap_bot_le_of_injective (hf : Function.Injective f) : comap f ⊥ ≤ I :=
  by
  refine le_trans (fun x hx => ?_) bot_le
  rw [mem_comap, Submodule.mem_bot, ← map_zero f] at hx
  exact Eq.symm (hf hx) ▸ Submodule.zero_mem ⊥

Похожие утверждения