English
Let S be a nontrivial Dedekind domain which is a finite free module over the integers. For every ideal I of S, the absolute norm absNorm(I) is nonzero if and only if I lies in the set of non-zero-divisor ideals (the symbol (Ideal S)⁰).
Русский
Пусть S — ненулевой ненулепрерывный рациональный идеал-основание (диедекенд domain), являющийся конечной свободной Z-модулью. Для каждого идеала I в S справедливо: absNorm(I) ≠ 0 тогда и только тогда, когда I принадлежит множеству непрерывных делителей нуля (I ∈ (Ideal S)⁰).
LaTeX
$$$$\forall I\in \mathrm{Ideal}(S):\; \operatorname{absNorm}(I) \neq 0 \ \Longleftrightarrow \ I\in (\mathrm{Ideal}(S))^{0}.$$$$
Lean4
theorem absNorm_ne_zero_iff_mem_nonZeroDivisors {I : Ideal S} : absNorm I ≠ 0 ↔ I ∈ (Ideal S)⁰ := by
simp_rw [ne_eq, Ideal.absNorm_eq_zero_iff, mem_nonZeroDivisors_iff_ne_zero, Submodule.zero_eq_bot]
