ideal_span_singleton_smul — Mathlib

English

Repeated statement: the same span product identity holds for S,T; span S • span T = span { s t | s ∈ S, t ∈ T }.

Русский

Повторение: выполняется та же формула для произведения порожденных пространств.

LaTeX

$$$\\operatorname{span} S \\cdot \\operatorname{span} T = \\operatorname{span} \\{ s t \\mid s \\in S, t \\in T \\}$$$

Lean4

theorem ideal_span_singleton_smul (r : R) (N : Submodule R M) : (Ideal.span { r } : Ideal R) • N = r • N :=
  by
  have : span R (⋃ (t : M) (_ : t ∈ N), {r • t}) = r • N :=
    by
    convert span_eq (r • N)
    exact (Set.image_eq_iUnion _ (N : Set M)).symm
  conv_lhs => rw [← span_eq N, span_smul_span]
  simpa

Похожие утверждения