isIntegral_iff — Mathlib

English

For rings R, A, B with A a R-algebra and B an R-algebra, a Subalgebra S ⊆ A is integral over R if and only if every element of S is integral over R.

Русский

Для колец R, A, B с A-алгеброй над R и B-алгеброй над R, подалгебра S ⊆ A интегральна над R тогда и только тогда, когда каждый элемент S является целиком интегралом над R.

LaTeX

$$$\\text{Algebra.IsIntegral } R S \\iff \\forall x \\in S,\\; \\text{IsIntegral } R x$.$$

Lean4

theorem isIntegral_iff (S : Subalgebra R A) : Algebra.IsIntegral R S ↔ ∀ x ∈ S, IsIntegral R x :=
  Algebra.isIntegral_def.trans <|
    .trans (forall_congr' fun _ ↦ (isIntegral_algHom_iff S.val Subtype.val_injective).symm) Subtype.forall

Похожие утверждения