integralClosure_eq_bot_iff — Mathlib

English

If the algebra map from R to A is injective, then integralClosure R A equals the bottom subalgebra if and only if R is integrally closed in A.

Русский

Если отображение алгебраMap из R в A инъективно, то интегральная замкнутость внизу равна нулю тогда, когда R интегрально замкнуто в A.

LaTeX

$$$\text{integralClosure } R A = \bot \iff IsIntegrallyClosedIn R A$ (under injectivity).$$

Lean4

theorem integralClosure_eq_bot_iff (hRA : Function.Injective (algebraMap R A)) :
    integralClosure R A = ⊥ ↔ IsIntegrallyClosedIn R A :=
  by
  refine eq_bot_iff.trans ?_
  constructor
  · intro h
    refine ⟨hRA, fun hx => Set.mem_range.mp (Algebra.mem_bot.mp (h hx)), ?_⟩
    rintro ⟨y, rfl⟩
    apply isIntegral_algebraMap
  · intro h x hx
    rw [Algebra.mem_bot, Set.mem_range]
    exact isIntegral_iff.mp hx

Похожие утверждения