English
If IsLocalRing R and Module.supportDim_R(N) = 0, then Module.support_R N equals the zero locus of the maximal ideal of R.
Русский
Пусть R локальный, и если Module.supportDim_R(N) = 0, то поддержка Module.device N равна нулевой модулярной за нулевым максимумом максимальной идеал. (интерпретация: поддержка совпадает с нулевым замыканием максимального идеала).
LaTeX
$$$\\operatorname{Module.supportDim}_R(N) = 0 \\Rightarrow \\operatorname{Module.support}R N = \\operatorname{PrimeSpectrum.zeroLocus}(\\maximalIdeal R)$$$
Lean4
theorem support_of_supportDim_eq_zero [IsLocalRing R] (dim : Module.supportDim R N = 0) :
Module.support R N = PrimeSpectrum.zeroLocus (maximalIdeal R) :=
by
let _ : Nontrivial N := by simp [← Module.supportDim_ne_bot_iff_nontrivial R, dim]
rw [PrimeSpectrum.zeroLocus_eq_singleton]
apply le_antisymm
· intro p hp
by_contra nmem
simp only [Set.mem_singleton_iff] at nmem
have : p < ⟨maximalIdeal R, IsMaximal.isPrime' (maximalIdeal R)⟩ :=
lt_of_le_of_ne (IsLocalRing.le_maximalIdeal IsPrime.ne_top') nmem
have : Module.supportDim R N > 0 :=
by
simp only [Module.supportDim, gt_iff_lt, Order.krullDim_pos_iff, Subtype.exists, Subtype.mk_lt_mk, exists_prop]
use p
simpa [hp] using ⟨_, IsLocalRing.closedPoint_mem_support R N, this⟩
exact (ne_of_lt this) dim.symm
· simpa using IsLocalRing.closedPoint_mem_support R N
