isNilpotent_iff_mem_maximalIdeal — Mathlib

English

For a local ring R, an element x is nilpotent if and only if x lies in the maximal ideal of R.

Русский

В локальном кольце R нулевой элемент x существует тогда и только тогда, когда x принадлежит максимальному идеалу R.

LaTeX

$$$IsNilpotent(x) \\iff x \\in \\operatorname{maximalIdeal}R$$$

Lean4

theorem isNilpotent_iff_mem_maximalIdeal [IsLocalRing R] {x} : IsNilpotent x ↔ x ∈ IsLocalRing.maximalIdeal R :=
  ((Ring.krullDimLE_zero_and_isLocalRing_tfae R).out 0 2 rfl rfl).mp ⟨‹_›, ‹_›⟩ x

Похожие утверждения