of_isField — Mathlib

English

If A,B are subalgebras in a commutative algebra S over R and A ⊥ B, then the tensor product A ⊗_R B is a domain/field under conditions.

Русский

Если A и B — подалгебры в коммутативной алгебре S над R, и A ⊥ B, то A ⊗_R B имеет домен/поле при определённых условиях.

LaTeX

$$$A \\perp_L B \\Rightarrow A \\otimes_R B \\text{ удовлетворяет условиям домена/поля}$$$

Lean4

/-- If `A ⊗[R] B` is a field, then `A` and `B` are linearly disjoint. -/
theorem of_isField (H : IsField (A ⊗[R] B)) : A.LinearDisjoint B :=
  by
  nontriviality S
  rw [linearDisjoint_iff_injective]
  letI : Field (A ⊗[R] B) := H.toField
  letI : NonAssocRing (A ⊗[R] B) := Ring.toNonAssocRing
  exact RingHom.injective _

Похожие утверждения