English
Let P be a property of ring homomorphisms which is tested locally by prime localizations. If for every prime ideal J of the target ring S the induced localized map satisfies P, then the original map f: R → S satisfies P.
Русский
Пусть P — свойство однородных гомоморфизмов колебательных колец, которое проверяется локально по локализациям в простых идеалах. Если для каждого простого идеала J целевого кольца S полученная локализованная отображение удовлетворяет P, то исходное отображение f: R → S удовлетворяет P.
LaTeX
$$$\\forall \\{R,S\\} [\\mathrm{CommRing}\\ R] [\\mathrm{CommRing}\\ S] (f:\\,R \\to+* S),\\;\\big(\\forall (J: \\mathrm{Ideal}\,S)(hJ: J.IsPrime),\\; P(\\mathrm{Localization.localRingHom}\n \\_ J f\\, hJ)\\big) \\Rightarrow P(f)$$$
Lean4
/-- A property `P` of ring homs satisfies `RingHom.OfLocalizationPrime`
if `P` holds for `R` whenever `P` holds for `Rₘ` for all prime ideals `p`. -/
def OfLocalizationPrime : Prop :=
∀ ⦃R S : Type u⦄ [CommRing R] [CommRing S] (f : R →+* S),
(∀ (J : Ideal S) (_ : J.IsPrime), P (Localization.localRingHom _ J f rfl)) → P f
