English
For a finitely presented local ring R and a generating family, there exists a basis of M realizing that generating family after a suitable index change.
Русский
Для локального кольца R с конечной презентацией и порождающей семейство существует база модуля M, которая после подходящего перестановки индексов совпадает с данным порождающим семейством.
LaTeX
$$$ \exists \kappa \; \exists (a: \kappa \to \iota) \; \exists (b: Basis \kappa R M),\; \forall i, b i = v (a i). $$$
Lean4
theorem mem_support_iff_nontrivial_residueField_tensorProduct [Module.Finite R M] (p : PrimeSpectrum R) :
p ∈ Module.support R M ↔ Nontrivial (p.asIdeal.ResidueField ⊗[R] M) :=
by
let K := p.asIdeal.ResidueField
let e := (AlgebraTensorModule.cancelBaseChange R (Localization.AtPrime p.asIdeal) K K M).symm
rw [e.nontrivial_congr, Module.mem_support_iff,
(LocalizedModule.equivTensorProduct p.asIdeal.primeCompl M).nontrivial_congr, ← not_iff_not,
not_nontrivial_iff_subsingleton, not_nontrivial_iff_subsingleton, IsLocalRing.subsingleton_tensorProduct]
