of_subring — Mathlib

English

Let S be a local ring. If R is a subring of S such that every non-zero-divisor of R is a unit in R, then R is a local ring.

Русский

Пусть S — локальное кольцо. Если R является подпringом S и каждый ненулевой делитель в R является единицей в R, то R локально.

LaTeX

$$$IsLocalRing(S) \\Rightarrow (R \\le S) \\Rightarrow (\\forall a \\in R^{\\circ}, IsUnit(a)) \\Rightarrow IsLocalRing(R)$$$

Lean4

/-- If in a sub(semi)ring `R` of a local (semi)ring `S` every element is either
invertible or a zero divisor, then `R` is local. -/
theorem of_subring [IsLocalRing S] {R : Subsemiring S} (h : ∀ a, a ∈ R⁰ → IsUnit a) : IsLocalRing R :=
  of_injective R.subtype_injective h

Похожие утверждения