English
Let R be a commutative semiring, S a commutative semiring with an R-algebra structure, and x ∈ R. Suppose S is the localization of R away from x. Then for every z ∈ S there exist n ∈ N and a ∈ R such that z · (algebraMap_R^S x)^n = algebraMap_R^S a.
Русский
Пусть R — коммутативная полупrings, S — коммутативная полупrings, имеем структуру HE-алгебры R в S и элемент x ∈ R. Пусть S — локализация R away от x. Тогда для любого z ∈ S существует n ∈ N и a ∈ R такие, что z · (algebraMap_R^S x)^n = algebraMap_R^S a.
LaTeX
$$$\\forall z \\in S:\\; \\exists n \\in \\mathbb{N}, \\exists a \\in R:\\; z \\cdot (\\operatorname{algebraMap}_{R,S}(x))^{n} = \\operatorname{algebraMap}_{R,S}(a)$$$
Lean4
theorem surj (z : S) : ∃ (n : ℕ) (a : R), z * algebraMap R S x ^ n = algebraMap R S a :=
by
obtain ⟨⟨a, ⟨-, n, rfl⟩⟩, h⟩ := IsLocalization.surj (Submonoid.powers x) z
use n, a
simpa using h
