English
Let M ≤ N be submonoids of a ring R, and suppose that for every n in N there exists m in M with n dividing m. Then IsLocalization M S iff IsLocalization N S for any R-algebra S.
Русский
Пусть M ⊆ N — подмножества моноидов кольца R, и для каждого n ∈ N существует m ∈ M such that n делится на m. Тогда IsLocalization M S эквивалентно IsLocalization N S для любой R-алгебры S.
LaTeX
$$$(M \le N) \land (\forall n\in N\,\exists m\in M:\ n \mid m) \Rightarrow \bigl( \operatorname{IsLocalization}(M,S) \iff \operatorname{IsLocalization}(N,S) \bigr)$$$
Lean4
theorem iff_of_le_of_exists_dvd (N : Submonoid R) (h₁ : M ≤ N) (h₂ : ∀ n ∈ N, ∃ m ∈ M, n ∣ m) :
IsLocalization M S ↔ IsLocalization N S :=
have : IsLocalization N (Localization M) := of_le_of_exists_dvd _ _ h₁ h₂
isLocalization_iff_of_isLocalization _ _ (Localization M)
