isRadical_iff_span_singleton — Mathlib

English

For a commutative semiring R, y is radical (i.e., belongs to the radical of the zero ideal) if and only if the principal ideal generated by y, (y), is a radical ideal.

Русский

Пусть в коммутативном полуг ring R элемент y радикален тогда и только тогда, когда порожденная им кратная идеал $(y)$ является радикальной идеалом.

LaTeX

$$IsRadical y ↔ (Ideal.span {y}).IsRadical$$

Lean4

theorem isRadical_iff_span_singleton [CommSemiring R] : IsRadical y ↔ (Ideal.span ({ y } : Set R)).IsRadical :=
  by
  simp_rw [IsRadical, ← Ideal.mem_span_singleton]
  exact forall_swap.trans (forall_congr' fun r => exists_imp.symm)

Похожие утверждения