English
Let R be a (not necessarily unital or associative) ring. The map that assigns to a nonunital subring its underlying additive subgroup is strictly order-preserving with respect to inclusion. In particular, if S ⊊ T are nonunital subrings, then the corresponding additive subgroups satisfy toAddSubgroup(S) ⊊ toAddSubgroup(T).
Русский
Пусть R — кольцо без обязательного наличия единицы и без предположений об ассоциативности. Отображение, сопоставляющее ненаделённое подпольring его лежащей подгруппе сложения, строго монотонно по включению: если S ⊊ T — ненулевые подпольring, то toAddSubgroup(S) ⊊ toAddSubgroup(T).
LaTeX
$$$\forall R\,[\text{NonUnitalNonAssocRing } R],\forall S,T : \text{NonUnitalSubring } R,\ S < T \Rightarrow \operatorname{toAddSubgroup}(S) < \operatorname{toAddSubgroup}(T).$$$
Lean4
@[mono]
theorem toAddSubgroup_strictMono : StrictMono (toAddSubgroup : NonUnitalSubring R → AddSubgroup R) := fun _ _ => id
