English
In a matrix-norm transitivity setup, there is a polynomial-identity auxiliary to ih that relates det f(M.det) and det of a corner-augmented map, ensuring a structured inductive step.
Русский
В рамках перехода нормы по ступеням существует ах-лемма, дающая полином-идентичность, связывающую det(f(M.det)) и det уголково-дополненной отображенной матрицы, обеспечивая шаг индукции.
LaTeX
$$$(f\\,\\det M).\\det - ((M.map\\ f).\\comp \\{ a \\ / (a = k) = \\text{False} \\} \\ _ n n R).\\det) \\cdot (f(M_{k k})).\\det^{(\\lvert m\\rvert - 1)} = 0$$$
Lean4
theorem det_det_aux (ih : ∀ M, (f (det M)).det = ((M.map f).comp { a // (a = k) = False } _ n n R).det) :
((f M.det).det - ((M.map f).comp m m n n R).det) * (f (M k k)).det ^ (Fintype.card m - 1) = 0 := by
rw [sub_mul, comp_det_mul_pow, ← det_pow, ← map_pow, ← det_mul, ← map_mul, det_mul_corner_pow, map_mul, det_mul, ih,
sub_self]
