linearIndependent_powers_iff_aeval

English

If p and q are coprime, the sum of the ranges of aeval f p and aeval f q equals the whole space.

Русский

Если p и q взаимно простые, то сумма образов aeval f p и aeval f q охватывает всю пространство.

LaTeX

$$range(aeval f p) ⊔ range(aeval f q) = ⊤$$

Lean4

theorem linearIndependent_powers_iff_aeval (f : M →ₗ[R] M) (v : M) :
    (LinearIndependent R fun n : ℕ => (f ^ n) v) ↔ ∀ p : R[X], aeval f p v = 0 → p = 0 :=
  by
  rw [linearIndependent_iff]
  simp only [Finsupp.linearCombination_apply, aeval_endomorphism, forall_iff_forall_finsupp, ofFinsupp_eq_zero]
  exact Iff.rfl

Похожие утверждения