geom_sum_eq_zero — Mathlib

English

For a primitive root, the subgroup of powers equals the set of k-th roots of unity in R.

Русский

Для примитивного корня подпорядок степеней совпадает с множеством корней единицы степени k в R.

LaTeX

$$Subgroup.zpowers(\\zeta) = rootsOfUnity(k, R)$$

Lean4

/-- If `1 < k` then `(∑ i ∈ range k, ζ ^ i) = 0`. -/
theorem geom_sum_eq_zero [IsDomain R] {ζ : R} (hζ : IsPrimitiveRoot ζ k) (hk : 1 < k) : ∑ i ∈ range k, ζ ^ i = 0 :=
  by
  refine eq_zero_of_ne_zero_of_mul_left_eq_zero (sub_ne_zero_of_ne (hζ.ne_one hk).symm) ?_
  rw [mul_neg_geom_sum, hζ.pow_eq_one, sub_self]

Похожие утверждения