pow_sub_one_eq — Mathlib

English

There exists an isomorphism between ZMod k and the additive group of z-powers of a primitive root ζ.

Русский

Существует изоморфизм между ZMod k и аддитивной группой z-пр power примитивного корня ζ.

LaTeX

$$zmodEquivZPowers(ζ, k) : ZMod k ≃+ Additive(Subgroup.zpowers ζ)$$

Lean4

/-- If `1 < k`, then `ζ ^ k.pred = -(∑ i ∈ range k.pred, ζ ^ i)`. -/
theorem pow_sub_one_eq [IsDomain R] {ζ : R} (hζ : IsPrimitiveRoot ζ k) (hk : 1 < k) :
    ζ ^ k.pred = -∑ i ∈ range k.pred, ζ ^ i := by
  rw [eq_neg_iff_add_eq_zero, add_comm, ← sum_range_succ, ← Nat.succ_eq_add_one, Nat.succ_pred_eq_of_pos (pos_of_gt hk),
    hζ.geom_sum_eq_zero hk]

Похожие утверждения