card_rootsOfUnity — Mathlib

English

If there exists a primitive root of unity ζ of order n in a domain R, then the number of n-th roots of unity in R is exactly n.

Русский

Если в домене R существует примитивный корень единицы ζ порядка n, то число n-й степени корней единицы в R равно n.

LaTeX

$$$(\exists ζ: R, IsPrimitiveRoot(ζ,n)) \Rightarrow |\{\text{n-th roots of unity in } R\}| = n$$$

Lean4

theorem card_rootsOfUnity {ζ : R} {n : ℕ} [NeZero n] (h : IsPrimitiveRoot ζ n) : Fintype.card (rootsOfUnity n R) = n :=
  by
  obtain ⟨ζ, hζ⟩ := h.isUnit NeZero.out
  rw [← hζ, IsPrimitiveRoot.coe_units_iff] at h
  exact h.card_rootsOfUnity'

Похожие утверждения