isSimpleModule_iff_finrank_eq_one

English

For a division ring R and a nonzero R-module M, M is simple if and only if its finite dimension over R is 1.

Русский

Для деления кольца R и немножества модуля M над R, модуль M прост iff его размерность по R равна 1.

LaTeX

$$$\\text{IsSimpleModule } R M \\;\\iff\\; \\dim_R M = 1$$$

Lean4

theorem isSimpleModule_iff_finrank_eq_one {R M} [DivisionRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] :
    IsSimpleModule R M ↔ Module.finrank R M = 1 :=
  ⟨fun h ↦
    have := h.nontrivial;
    have ⟨v, hv⟩ := exists_ne (0 : M)
    (finrank_eq_one_iff_of_nonzero' v hv).mpr (IsSimpleModule.toSpanSingleton_surjective R hv),
    (isSimpleModule_iff ..).mpr ∘ is_simple_module_of_finrank_eq_one⟩

Похожие утверждения