English
A weaker form of the universal property for tensor products of modules with a Lie algebra action gives a Lie-module linear equivalence between bilinear L-equivariant maps and linear maps out of the tensor product.
Русский
Слабееe форма универсального свойства тензорного произведения модулей с действием Ли-палития даёт каноническое линейное эквивалентное отображение между L-совместимыми би-дифференцируемыми отображениями и линейными отображениями из тензорного произведения.
LaTeX
$$$\mathrm{liftLie} : (M \to_{\mathfrak{L}} N \to_{\mathfrak{L}} P) \simeq_{\mathfrak{L}} M \otimes_R N \to_{\mathfrak{L}} P$$$
Lean4
/-- A weaker form of the universal property for tensor product of modules of a Lie algebra.
Note that maps `f` of type `M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P` are exactly those `R`-bilinear maps satisfying
`⁅x, f m n⁆ = f ⁅x, m⁆ n + f m ⁅x, n⁆` for all `x, m, n` (see e.g, `LieModuleHom.map_lie₂`). -/
def liftLie : (M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P) ≃ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ⁅R,L⁆ P :=
maxTrivLinearMapEquivLieModuleHom.symm ≪≫ₗ ↑(maxTrivEquiv (lift R L M N P)) ≪≫ₗ maxTrivLinearMapEquivLieModuleHom
