English
Let R and S be commutative semirings and f: R →+* S a ring hom. The induced map comap f between the prime spectra Spec(S) → Spec(R) has dense range if and only if ker f is contained in the nilradical of R; equivalently, every prime ideal that is nilpotent in R lies above ker f.
Русский
Пусть R и S — коммутативные полупреступки, f: R →+* S — кольцевой гомоморфизм. Индуцированная карта comap f между спектрами простых идеалов имеет плотный образ тогда и только тогда, когда ядро f содержится в нильрадикале R; эквивалентно, каждый минимальный нильпотентный идеал над нулём лежит под ker f.
LaTeX
$$$$ \operatorname{DenseRange}(\operatorname{comap} f) \iff \ker f \le \sqrt{(0)} $$$$
Lean4
theorem denseRange_comap_iff_ker_le_nilRadical : DenseRange (comap f) ↔ RingHom.ker f ≤ nilradical R := by
rw [denseRange_iff_closure_range, closure_range_comap, zeroLocus_eq_univ_iff, SetLike.coe_subset_coe]
