English
If f: R →+* S is an integral ring homomorphism and f is injective, then the induced map on prime spectra f*: Spec(S) → Spec(R) is surjective; equivalently, every prime ideal p of R is the contraction of some prime ideal of S.
Русский
Если \(f: R \to S\) целостно расширяет кольца и инъектен, то соответствующее отображение спектров \(\mathrm{Spec}(S) \to \mathrm{Spec}(R)\) всепреступимо; то есть каждыйprime идеал \(p\) из \(R\) является сокращением некоторого prime‑идеала из \(S\).
LaTeX
$$$\\forall p \\in \\mathrm{Spec}(R), \\ exists\\ q \\in \\mathrm{Spec}(S)\\ with\\ q \\cap R = p$$$
Lean4
theorem _root_.RingHom.IsIntegral.specComap_surjective {f : R →+* S} (hf : f.IsIntegral) (hinj : Function.Injective f) :
Function.Surjective f.specComap := by
algebraize [f]
intro ⟨p, hp⟩
obtain ⟨Q, _, hQ, rfl⟩ :=
Ideal.exists_ideal_over_prime_of_isIntegral p (⊥ : Ideal S)
(by simp [Ideal.comap_bot_of_injective (algebraMap R S) hinj])
exact ⟨⟨Q, hQ⟩, rfl⟩
