zeroLocus_ideal_mem_irreducibleComponents

English

For every ideal I of R, zeroLocus(I) is an irreducible component iff radical(I) is a minimal prime of R.

Русский

Для каждогоideala I кольца R нулевое множество I является неразложимой компонентой тогда и только тогда, когда радикал(I) является минимальнымprime‑идеалом R.

LaTeX

$$$\\operatorname{zeroLocus}(I) \\in \\mathrm{IrrComponents}(\\mathrm{Spec} R) \\iff I^{\\mathrm{rad}} \\in \\mathrm{MinPrimes}(R)$$$

Lean4

theorem zeroLocus_ideal_mem_irreducibleComponents {I : Ideal R} :
    zeroLocus I ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) ↔ I.radical ∈ minimalPrimes R :=
  by
  rw [← vanishingIdeal_zeroLocus_eq_radical]
  conv_lhs => rw [← (isClosed_zeroLocus _).closure_eq]
  exact vanishingIdeal_mem_minimalPrimes.symm

Похожие утверждения