closedPoint_mem_iff — Mathlib

English

In a local ring, the prime spectrum has a greatest element given by the maximal ideal; thus all primes are contained in the maximal ideal.

Русский

В локальном кольце спектр имеет наибольший элемент, задаваемый максимальной идеал, и все праймеры содержатся в нём.

LaTeX

$$$\\forall \\mathfrak p \\in \\mathrm{Spec}(R): \\mathfrak p \\subseteq \\mathfrak m$, where $\\mathfrak m = \\mathrm{MaximalIdeal}(R)$$$

Lean4

theorem closedPoint_mem_iff (U : TopologicalSpace.Opens <| PrimeSpectrum R) : closedPoint R ∈ U ↔ U = ⊤ :=
  by
  constructor
  · rw [eq_top_iff]
    exact fun h x _ => (specializes_closedPoint x).mem_open U.2 h
  · rintro rfl
    exact TopologicalSpace.Opens.mem_top _

Похожие утверждения