English
Let g: M1 ⊗ M2 →ₗ⁅R,L⁆ M3 be a Lie-module linear map and χ1, χ2: R → R be weights, with x ∈ L. Then the image of pure tensors from the χ1- and χ2-weight spaces lies in the (χ1 + χ2)-weight space of M3. In particular, weight spaces behave additively under tensor product via g.
Русский
Пусть g: M1 ⊗ M2 → M3 — линейное отображение в рамках модуля Ли, χ1, χ2 — веса, и x ∈ L. Тогда образ чистых тензоров из χ1- и χ2-весовых подпростраств лежит в весовом подпространстве χ1+χ2 модуля M3. Весовые пространства ведут себя-additivно в тензорном произведении через g.
LaTeX
$$$\\mathrm{range}\\left(g\\circ \\mathrm{mapIncl}\\left( \\mathbb{W}(M_1,\\chi_1,x), \\mathbb{W}(M_2,\\chi_2,x)\\right)\\right) \\subseteq \\mathbb{W}(M_3,\\chi_1+\\chi_2, x)$$$
Lean4
theorem mem_weightSpace (χ : L → R) (m : M) : m ∈ weightSpace M χ ↔ ∀ x, ⁅x, m⁆ = χ x • m := by simp [weightSpace]
