English
The two compositions involving mulLeftRight and its matrix inverse yield the identity, illustrating that the inverse is indeed a genuine two-sided inverse.
Русский
Составления, связанные с mulLeftRight и его матричным обратным, дают тождество; это демонстрирует корректность найденного обратного.
LaTeX
$$$(\text{mulLeftRight } R (\text{Matrix } n\, n\, R)).toLinearMap \circ (\text{mulLeftRightMatrix_inv } R n) = \mathrm{id}$ and similarly for the other order.$$
Lean4
@[simp]
theorem mulLeftRight_apply (a : A) (b : Aᵐᵒᵖ) (x : A) : AlgHom.mulLeftRight R A (a ⊗ₜ b) x = a * x * b.unop :=
by
simp only [AlgHom.mulLeftRight, Algebra.lsmul_coe]
change TensorProduct.Algebra.moduleAux _ _ = _
simp [TensorProduct.Algebra.moduleAux, ← mul_assoc]
