English
Let A be a valuation subring of L with base K. The decomposition subgroup A.decompositionSubgroup(K) acts on A by multiplication, making A into a MulSemiringAction over A.decompositionSubgroup(K). In particular, for g in A.decompositionSubgroup(K) and a in A, the product g a lies in A, and the action satisfies the usual action axioms: (gh)·a = g·(h·a), 1·a = a, g·(a+b) = g·a + g·b, g·(ab) = (g·a)(g·b).
Русский
Пусть A — огибающая часть оболочки valuations, связанная с L над K. Подгруппа разложения A.decompositionSubgroup(K) действует на A умножением, образуя мульти-алгебраический полугуммовый набор действий. При этом для g ∈ A.decompositionSubgroup(K) и a ∈ A выполняются свойства обычного действия: (gh)·a = g·(h·a), 1·a = a, g·(a+b) = g·a + g·b, g·(ab) = (g·a)(g·b).
LaTeX
$$$ (A.\mathrm{decompositionSubgroup}(K)) \curvearrowright A \\to (g,a) \mapsto ga, \\text{with the usual action axioms: } (gh)\cdot a = g\cdot(h\cdot a),\; 1\cdot a = a,\; g\cdot(a+b)=g\cdot a+g\cdot b,\; g\cdot(ab)=(g\cdot a)(g\cdot b). $$$$
Lean4
/-- The multiplicative action of the decomposition subgroup on `A`. -/
instance decompositionSubgroupMulSemiringAction (A : ValuationSubring L) :
MulSemiringAction (A.decompositionSubgroup K) A :=
{
SubMulAction.mulAction
(A.subMulAction K) with
smul_add := fun g k l => Subtype.ext <| smul_add (A := L) g k l
smul_zero := fun g => Subtype.ext <| smul_zero g
smul_one := fun g => Subtype.ext <| smul_one g
smul_mul := fun g k l => Subtype.ext <| smul_mul' (N := L) g k l }
