English
Let α and β be weights relative to a Cartan subalgebra in a finite-dimensional Lie algebra with a Killing form. The reflection of α along β is the weight α' defined by α' = β − β(α∨) α, where α∨ is the coroot of α. This reflected weight remains within the same weight space.
Русский
Пусть α и β — веса относительно разложения поCartan-подалгебре в конечномерной алгебре Ли с непереходящей Killing-формой. Отражение α по β задаётся весом α' = β − β(α∨) α, где α∨ — корот α. Этот отражённый вес принадлежит той же самой весовой области.
LaTeX
$$$\operatorname{reflectRoot}(\alpha,\beta) = \beta - \beta(\operatorname{coroot}(\alpha)) \cdot \alpha$$$
Lean4
/-- The reflection of a root along another. -/
def reflectRoot (α β : Weight K H L) : Weight K H L
where
toFun := β - β (coroot α) • α
genWeightSpace_ne_bot' := by
by_cases hα : α.IsZero
· simpa [hα.eq] using β.genWeightSpace_ne_bot
rw [sub_eq_neg_add, apply_coroot_eq_cast α β, ← neg_smul, ← Int.cast_neg, Int.cast_smul_eq_zsmul,
rootSpace_zsmul_add_ne_bot_iff α β hα]
omega
