English
Let α be a preordered commutative monoid with a topology such that the topology has a closed lower interval. Let L be a summation filter on ι with L nontrivial. If f: ι → α has a product a along L (HasProd f a L) and every finite subproduct ∏_{i∈S} f(i) is ≤ c for all finite S ⊆ ι, then a ≤ c.
Русский
Пусть α — упорядоченное коммутативное моноид с топологией, где все нижние замкнуты; пусть L—сумматорный фильтр на ι с L ≠ ⊥. Если f: ι → α имеет произведение a вдоль L и каждое конечное произведение ∏_{i∈S} f(i) ≤ c для любого конечного подмножества S, то a ≤ c.
LaTeX
$$$\text{Пусть } \alpha \text{ удовлетворяет условиям; } L \ text{ — суммирующий фильтр на } \iota; \ \ HasProd f a L \text{ и } \forall S \in \Finset(\iota), \ \prod_{i\in S} f(i) \le c. \ Then\ a \le c.$$$
Lean4
@[to_additive]
theorem hasProd_le_of_prod_le [ClosedIicTopology α] [L.NeBot] (hf : HasProd f a L) (h : ∀ s, ∏ i ∈ s, f i ≤ c) :
a ≤ c :=
le_of_tendsto' hf h
