dense_iff_ne_zpowers — Mathlib

English

In a densely ordered archimedean topological group G, for any subgroup S ≤ G, S is dense in G if and only if S is not equal to the zpowers of any element; i.e., ∀ a ∈ G, S ≠ zpowers(a).

Русский

В densely упорядоченной архимедовой топологической группе G подгруппа S плотна в G тогда и только тогда, когда не совпадает с zpowers некоторого элемента; то есть для всех a в G имеет место S ≠ zpowers(a).

LaTeX

$$$\overline{S} = G \;\Longleftrightarrow\; \forall a\in G,\; S \neq \mathrm{zpowers}(a).$$$

Lean4

@[to_additive]
theorem dense_iff_ne_zpowers {s : Subgroup G} : Dense (s : Set G) ↔ ∀ a, s ≠ .zpowers a := by
  simp [xor_iff_iff_not.1 s.dense_xor'_cyclic]

Похожие утверждения