isOpen_closedBall — Mathlib

English

A closed ball { x : R : v(x) ≤ r } is open as well as closed; in particular, balls are clopen for r ≠ 0.

Русский

Замкованный шар { x : R : v(x) ≤ r } является также открытым; шары являются разомкнутыми и закрытыми при r ≠ 0.

LaTeX

$$$\text{isOpen} (\{x : R : v(x) \le r\})$ и рядом$$

Lean4

/-- A closed ball centred at the origin in a valued ring is open. -/
theorem isOpen_closedBall {r : Γ₀} (hr : r ≠ 0) : IsOpen (X := R) {x | v x ≤ r} :=
  by
  rw [isOpen_iff_mem_nhds]
  intro x hx
  rw [mem_nhds]
  simp only [setOf_subset_setOf]
  exact ⟨Units.mk0 _ hr, fun y hy => (sub_add_cancel y x).symm ▸ le_trans (v.map_add _ _) (max_le (le_of_lt hy) hx)⟩

Похожие утверждения