English
In a principal ideal domain, a finitely generated torsion module M decomposes as an internal direct sum of its prime power torsion submodules: M ≅ ⊕_i R/(p_i^{e_i}) with p_i irreducible and e_i ∈ ℕ.
Русский
В ПИД-модуля M (помнит, что M конечнопорожденный) разлагается как внутреннее прямое сумма его p_i^e_i-дел torsion-подмодулей: M ≅ ⊕_i R/(p_i^{e_i}) при p_i ирредуцируемых и e_i ∈ ℕ.
LaTeX
$$$\\operatorname{DirectSum.IsInternal}\\Big(\\lambda p : (\\mathrm{factors} (\\top : \\mathrm{Submodule } R M).\\mathrm{annihilator}).toFinset,\\ \\mathrm{torsionBy}\\ R M (p^{e_p})\\Big)$$$
Lean4
theorem isSemisimple_torsionBy_of_irreducible {a : R} (h : Irreducible a) : IsSemisimpleModule R (torsionBy R M a) :=
haveI := PrincipalIdealRing.isMaximal_of_irreducible h
letI := Ideal.Quotient.field (R ∙ a)
(isSemisimpleModule_iff ..).mpr (submodule_torsionBy_orderIso a).complementedLattice
